概述
汇总一下求积分问题的难点。
660-第467题(常规公式)
不定积分\(\int\frac{x+2}{x^2+2x+2}\mathrm{d}x=\)
这道题的分母不能简单地拆分成两个式子相乘。
必须对常规的公式非常熟悉，才能看出拆分方法。
\[ I= \int\frac{(x+1)+1}{(x+1)^2+1}\mathrm{d}x= \int\frac{(x+1)+1}{(x+1)^2+1}\mathrm{d}x= \frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + \arctan(1+x) + C \]
660-第469题(奇偶性)
设a>0,则\(I = \int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\ln\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{3}\mathrm{d}x=\)
看到积分区间是对称的，就该想到积分的奇偶性。
\[ I=\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\ln(x+\sqrt{1+x^2})\mathrm{d}x-\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\ln3\mathrm{d}x \]
前半部分是奇函数，后半部分可以用定积分的几何意义解题。
所以答案是\(-\frac{1}{2}\pi a^2\ln3\)。
660-第472题(凑根式换元)
\[ I=\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}}(a<x<b)= \]
转化为被积函数中含有形如\(\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)的根式的积分。
\[ I=\int{\frac{1}{x-a}}\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\mathrm{d}x \]
然后用换元法,令\(t=\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\),则x=\(\frac{a+bt^2}{1+t}\)
660-第474题(三角换元)
\[ \int^{+\infty}_3{\frac{\mathrm{d}x}{(x-1)^4\sqrt{x^2-2x}}} \]
第一次做到这个题的时候，已经意识到\(x^2-2x=(x-1)^2-1\)，但是对三角换元没有足够的积累。
在这里总结如下（待补充）。
\[ 1-x^2\sim t=\sin{x}\quad x\in(-1,1),t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\\ a^2-x^2\sim t=\sin{\frac{x}{a}}\quad x\in(-1,1),t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\\ 1+x^2\sim t=\tan{x}\quad x\in(-\infty,+\infty),t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\\ a^2+x^2\sim t=\tan{\frac{x}{a}}\quad x\in(-\infty,+\infty),t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\\ x^2-1\sim t=\sec{x}\quad x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty),t\in(0,-\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},+\infty)\\ \]
660-第476题(利用关系式和换元)
\[ 设当0\leq x \leq \pi时f(x)=x,且对一切x，f(x)=f(x-\pi)+\sin x,则\int^{3\pi}_\pi f(x)\mathrm{d}x= \]
660-491题(倍角公式)
把原题简化，仅仅保留积分的部分：
\[ \int{\frac{1}{\sin{x}}}=\int{\frac{1}{2\tan{x\cos^2{x}}}}=\ln\lvert\tan\frac{u}{2}\rvert+C \]