微积分-求极限的难点

概述

总结一下求极限问题中遇到的难以上手的题。

我最熟练的方法是使用泰勒公式,它适用于占比最大的,在\(\lim_{x\to0}\) 情况下的\(\frac{0}{0}\)型极限。

现在还存在一些问题:

  • 有的题用洛必达方法更简单,泰勒公式反而是绕路了
  • 对于三角函数相关题目不熟悉
  • 对需要使用夹逼的题目不熟悉

660-第435题

求数列极限:

\[ I=\lim_{n\to\infty} n\tan(\pi\sqrt{n^2+1}) \]

注意观察题目:

  • 这是一道三角函数相关的题目
  • 这不是普通的求极限,而是数列极限,意味着n是一个整数。

题目暗示得很明显,这道题要用到,诱导公式:

\[ \tan x = \tan(x - n\pi) \]

660-第442题

求极限:

\[ I=\lim_{x\to+\infty}(\sin\sqrt{x+1} - \sin\sqrt{x}) \]

刚看到这道题的时候,第一反应是运用拉格朗日中值定理。但是很明显\(f^{'}(\xi)\)是没法求得的,因为\(\cos(x)\)在正无穷的时候,并不是一个定值,所以这个方法行不通。

另一种办法,就是和差化积。

\[ sin\alpha - sin\beta=2\cdot\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha - \beta}{2} \]

将来在此处补充一道夹逼定理